Demostración
Lo haremos por el método clásico de
reductio ad absurdum
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Supongamos que sí lo es, es decir, que existen [imath]p,q[/imath] dos enteros tales que
[imath]\displaystyle\sqrt 2 = \frac{p}{q}[/imath]
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que mcd[imath](p,q)=1[/imath], es decir que la fracción "está simplificada al máximo". Esta suposición es plausible entre otra cosas gracias al Teorema de Euclides
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Entonces elevando ambos miembros de la igualdad anterior al cuadrado:
[imath]\displaystyle 2 = \frac{p^2}{q^2}[/imath]
Y aplicando reglas de Aritmética de colegio (la verdadera razón es más profunda)
[imath]2q^2 = p^2[/imath]
Esto nos indica que [imath]p^2[/imath] es múltiplo de [imath]2[/imath], o sea par. De esto a su vez, puede deducirse que [imath]p[/imath] es también par. Esto, es una consecuencia del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética
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Como [imath]p[/imath] es par, entonces existe un [imath]k\in\mathbb Z[/imath] tal que
[imath]p=2k[/imath]
entonces, reemplazando en lo anterior, tenemos que
[imath]2q^2=(2k)^2 = 4k^2[/imath]
esto es
[imath]\cancel 2 q^2 = \cancel 4k^2 \implies q^2 = 2k^2[/imath]
Entonces se tiene que [imath]q^2[/imath] es par, y razonando como antes obtenemos que [imath]q[/imath] también es par.
Y entonces hemos llegado a una contradicción, pues tenemos que [imath]p,q[/imath] son pares, pero los habíamos supuesto coprimos.
Por lo tanto, tenemos que [imath]\sqrt 2[/imath] no puede ser racional.
Q.E.D.
