Demostración de que $\sqrt 2$ es irracional
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オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Demostración
Lo haremos por el método clásico de reductio ad absurdum
es.wikipedia.org
Supongamos que sí lo es, es decir, que existen [imath]p,q[/imath] dos enteros tales que
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que mcd[imath](p,q)=1[/imath], es decir que la fracción "está simplificada al máximo". Esta suposición es plausible entre otra cosas gracias al Teorema de Euclides
es.wikipedia.org
Entonces elevando ambos miembros de la igualdad anterior al cuadrado:
Y aplicando reglas de Aritmética de colegio (la verdadera razón es más profunda)
Esto nos indica que [imath]p^2[/imath] es múltiplo de [imath]2[/imath], o sea par. De esto a su vez, puede deducirse que [imath]p[/imath] es también par. Esto, es una consecuencia del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética
Como [imath]p[/imath] es par, entonces existe un [imath]k\in\mathbb Z[/imath] tal que
entonces, reemplazando en lo anterior, tenemos que
[imath]\cancel 2 q^2 = \cancel 4k^2 \implies q^2 = 2k^2[/imath]
Entonces se tiene que [imath]q^2[/imath] es par, y razonando como antes obtenemos que [imath]q[/imath] también es par.
Y entonces hemos llegado a una contradicción, pues tenemos que [imath]p,q[/imath] son pares, pero los habíamos supuesto coprimos.
Por lo tanto, tenemos que [imath]\sqrt 2[/imath] no puede ser racional.
Lo haremos por el método clásico de reductio ad absurdum
Reductio ad absurdum - Wikipedia, la enciclopedia libre
Supongamos que sí lo es, es decir, que existen [imath]p,q[/imath] dos enteros tales que
[imath]\displaystyle\sqrt 2 = \frac{p}{q}[/imath]
Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que mcd[imath](p,q)=1[/imath], es decir que la fracción "está simplificada al máximo". Esta suposición es plausible entre otra cosas gracias al Teorema de Euclides
Algoritmo de Euclides - Wikipedia, la enciclopedia libre
Entonces elevando ambos miembros de la igualdad anterior al cuadrado:
[imath]\displaystyle 2 = \frac{p^2}{q^2}[/imath]
Y aplicando reglas de Aritmética de colegio (la verdadera razón es más profunda)
[imath]2q^2 = p^2[/imath]
Esto nos indica que [imath]p^2[/imath] es múltiplo de [imath]2[/imath], o sea par. De esto a su vez, puede deducirse que [imath]p[/imath] es también par. Esto, es una consecuencia del llamado Teorema Fundamental de la Aritmética
Como [imath]p[/imath] es par, entonces existe un [imath]k\in\mathbb Z[/imath] tal que
[imath]p=2k[/imath]
entonces, reemplazando en lo anterior, tenemos que
[imath]2q^2=(2k)^2 = 4k^2[/imath]
esto es
[imath]\cancel 2 q^2 = \cancel 4k^2 \implies q^2 = 2k^2[/imath]
Entonces se tiene que [imath]q^2[/imath] es par, y razonando como antes obtenemos que [imath]q[/imath] también es par.
Y entonces hemos llegado a una contradicción, pues tenemos que [imath]p,q[/imath] son pares, pero los habíamos supuesto coprimos.
Por lo tanto, tenemos que [imath]\sqrt 2[/imath] no puede ser racional.
Q.E.D.
Última edición:
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Miembro Maestro
Observación
En este argumento, era clave usar el hecho de que para un entero [imath]x[/imath]
De hecho el recíproco es también cierto. Dije que era consecuencia del TFA (lo cual es verdad) pero existen otras maneras de probarlo
Por ejemplo en esta web prueban de otra manera ambas implicancias lógicas:
www.problemasyecuaciones.com
En este argumento, era clave usar el hecho de que para un entero [imath]x[/imath]
[imath]x^2[/imath] es par [imath]\implies[/imath] [imath]x[/imath] es par
De hecho el recíproco es también cierto. Dije que era consecuencia del TFA (lo cual es verdad) pero existen otras maneras de probarlo
Por ejemplo en esta web prueban de otra manera ambas implicancias lógicas:
Un número es par si y solo si su cuadrado es par
Demostración de que un número es par si y solo si su cuadrado es par. Recordatorio de número par, número impar, cuadrado de un número, algunas propiedades y las técnicas de demostración que se emplean (deducción y reducción al absurdo). También, demostramos que un número es impar si y solo si su...
www.problemasyecuaciones.com
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Entonces, en esta web demuestran las 2 implicacionesObservación
En este argumento, era clave usar el hecho de que para un entero [imath]x[/imath]
[imath]x^2[/imath] es par [imath]\implies[/imath] [imath]x[/imath] es par
De hecho el recíproco es también cierto. Dije que era consecuencia del TFA (lo cual es verdad) pero existen otras maneras de probarlo
Por ejemplo en esta web prueban de otra manera ambas implicancias lógicas:
Un número es par si y solo si su cuadrado es par
Demostración de que un número es par si y solo si su cuadrado es par. Recordatorio de número par, número impar, cuadrado de un número, algunas propiedades y las técnicas de demostración que se emplean (deducción y reducción al absurdo). También, demostramos que un número es impar si y solo si su...
Haremos de otra manera la que nos interesa: la de [imath]x^2[/imath] par implica [imath]x[/imath] par.
En esa web lo hacen por reductio ad absurdum, pero nosotros lo volveremos a hacer con otro método, en este caso muy parecido, el del contrarrecíproco
Contraposición lógica - Wikipedia, la enciclopedia libre
Esto es, para [imath]p,q[/imath] proposiciones lógicas, la sentencia [imath]p[/imath] implica [imath]q[/imath] es lógicamente equivalente a que la negación de [imath]q[/imath] implica la negación de [imath]p[/imath], esto es
[imath]p \implies q \equiv \lnot q \implies \lnot p[/imath]
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オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Entonces, queremos demostrarEntonces, en esta web demuestran las 2 implicaciones
Haremos de otra manera la que nos interesa: la de [imath]x^2[/imath] par implica [imath]x[/imath] par.
En esa web lo hacen por reductio ad absurdum, pero nosotros lo volveremos a hacer con otro método, en este caso muy parecido, el del contrarrecíproco
Contraposición lógica - Wikipedia, la enciclopedia libre
Esto es, para [imath]p,q[/imath] proposiciones lógicas, la sentencia [imath]p[/imath] implica [imath]q[/imath] es lógicamente equivalente a que la negación de [imath]q[/imath] implica la negación de [imath]p[/imath], esto es
[imath]p \implies q \equiv \lnot q \implies \lnot p[/imath]
[imath]a[/imath] impar [imath]\implies[/imath] [imath]a^2[/imath] impar
Demostración
Sea [imath]a[/imath] impar. Entonces existe un [imath]n\in\mathbb Z[/imath] tal que
[imath]a = 2n +1[/imath]
Entonces, elevando al cuadrado
[imath]a^2 = (2n+1)^2 = 4n^2 + 4n + 1[/imath]
y reagrupando
[imath]a^2 = 2(2n^2 + 2n) + 1[/imath]
Es decir, [imath]a^2[/imath] es impar, como se quería
Q.E.D.
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オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Sobrino @Dahmerized qué opinas de mi esfuerzo por elevar el IQ de los foreros
Dahmerized
Miembro de Bronce
Hay que atraer el público adecuado, estoy en eso
dalktri
Miembro Maestro
Tío Morel, ya voy leyendo como 20 veces lo que pusiste y no entiendo ni mierda.
Mejor me voy a la sección de videos gore.
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Es sólo un ejemplo de un razonamiento en el cual supones algo y llegas a una contradicción, a algo que no es, que no tiene sentido.
Luego la verdad debe ser lo contrario a lo que supusiste
Lo hice para adiestrar a los foreros (aunque sólo sean 4 gatos y encima no leen ni mielda) de cómo razonar ordenadamente, para que no hagan el ridículo cada vez que dicen algo
Pongo otro ejemplo más sencillo de esta manera de razonar:
Quiero probar que el foro de KLP es una porquería y un fracaso
Supongo lo contrario, es decir que el foro de KLP no es un fracaso
Pero entonces, de ser cierto, KLP no estaría pidiendo limosna como un venezolano piojoso en las esquinas
Por tanto, lo lógico es pensar que sí es un fracaso (QED)
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オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
La misma prueba en japonés (para atraer más lectoría)
証明
[imath]\sqrt 2[/imath] が有理数であると仮定する。
このとき，互いに素な正の整数 [imath]p,q[/imath] を用いて
[imath]\displaystyle\sqrt 2 = \frac{q}{p}[/imath]
とおける。
両辺二乗して分母を払うと，
[imath]2p^2 = q^2[/imath]
左辺は [imath]2[/imath] の倍数なので [imath]q^2[/imath] は [imath]2[/imath] の倍数。よって [imath]q[/imath] は [imath]2[/imath] の倍数。
すると，[imath]q^2[/imath] は [imath]4[/imath] の倍数になるので，[imath]p^2[/imath] が [imath]2[/imath] の倍数。よって [imath]p[/imath] も [imath]2[/imath] の倍数。
これは [imath]p[/imath] と [imath]q[/imath] が互いに素であることに矛盾。
Q.E.D.
Dahmerized
Miembro de Bronce
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Buena ideaNecesitamos un thread de los teoremas de incompletitud de Gödel
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Dime qué parte sí entiendes y a partir de ahí te explico el resto
Mister Chicken
Miembro de Plata
No entiendo broz
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Qué parte no entiendes
Mister Chicken
Miembro de Plata
que es lo que se quiere demostrar? que relevancia tiene en las matematicas, que es irracional? xd
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Casi ninguna, es un problema muy antiguo
De hecho la demostración es de la época de los griegos
Su gracia es para ejemplo, sirve para que los muchachos aprendan a razonar y argumentar (pero lógicamente y con la razón, no hablando pachotadas como los Baneados, especialmente los Baneados rojetes)
オベリスクの巨神兵
Miembro Maestro
Los números reales
Número real - Wikipedia, la enciclopedia libre
Se clasifican en irracionales y racionales
Número racional - Wikipedia, la enciclopedia libre
Número irracional - Wikipedia, la enciclopedia libre
En el caso de los racionales, son aquellos que pueden expresarse como una razón (cociente) de 2 enteros
Ejemplos de racionales son [imath]\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{5}{8},\displaystyle\frac{11}{32},\displaystyle\frac{21}{9}[/imath], etc.
Los irracionales son aquellos donde eso sea imposible, es decir que no existan 2 enteros tales que su razón sea el número que quieres
Ejempos de irracionales son [imath]\pi,\sqrt 2[/imath] (como el aquí estudiado), entre otros.