Entonces, en japonés, quedaría así:
定義
整域
単位元 [imath]1[/imath] をもつ
可換環、
零環ではない [imath]A[/imath] が [imath]A[/imath] の元 [imath]a,b[/imath] に対し
[imath]ab=0\implies a=0[/imath] または [imath]b=0[/imath]
を満たすとき、[imath]A[/imath] を整域という。
可換環 [imath]R[/imath] の元 [imath]p[/imath] は次の性質を満たすとき素元であると言う。[imath]p[/imath] は [imath]0[/imath] でも単元でもなく、[imath]R[/imath] のある元 [imath]a[/imath] と [imath]b[/imath] に対して [imath]p[/imath] が [imath]ab[/imath] を割り切るときにはいつでも、[imath]p[/imath] が [imath]a[/imath] を割り切るか [imath]p[/imath] が [imath]b[/imath] を割り切る。
整域の 0 でも
単元でもない元は、それが２つの非単元の
積でないときに、
既約（
英: irreducible）であると言う。
注意
素元は素数の概念に対応しており，既約元は「これ以上割り切れない」という概念に対応している。整数 [imath]\mathbb Z[/imath]（
環 [imath](\mathbb Z,+,⋅)[/imath]） では，両者は同じ意味だが，一般には違う。
定理
整域 [imath]D[/imath] とし、[imath]p\in D[/imath] とする。このとき、
[imath]p[/imath] 素元 [imath]\implies p[/imath] 規約元
証明
[imath]p\in D[/imath] を素元とする。
任意の [imath]a,b\in D[/imath] に対して、[imath]p=ab[/imath] ならば [imath]a[/imath] は
単元か [imath]b[/imath] は単元であることを示せば良い。
次に、[imath]p=ab[/imath] と仮定する。特に [imath]p\mid ab[/imath] である。
[imath]p[/imath] は素元より、必然的に [imath]p\mid a[/imath] か、[imath]p\mid b[/imath] であることになる。
一般性を失わず，[imath]p\mid a[/imath] とする。すると，[imath]a=pc[/imath] となる [imath]c\in D[/imath] が存在する。よって，
[imath]p=ab=pcb[/imath]
なので，
分配法則を適用して、[imath]p(1−cb)=0[/imath] である。以下に見られるように
[imath]p=pcb[/imath]
[imath]\implies p-pcb=0[/imath]
[imath]\implies p(1-cb)=0[/imath]
一方、[imath]D[/imath] は整域より，[imath]1−cb=0[/imath] すなわち [imath]cb=1[/imath] となる。
よって [imath]b[/imath] は単元であるなので，[imath]p[/imath] は既約元である。
