Demostración de que primo implica irreducible

[オベリスクの巨神兵]

Primero vamos con algunas definiciones.

Antes que eso recordamos que un Dominio de Integridad es un anillo sin divisores de cero.

Dominio de integridad - Wikipedia, la enciclopedia libre

es.wikipedia.org

Asimismo recordamos que las unidades de un anillo son sus elementos inversibles

Unidad (álgebra) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Dicho esto ya podemos empezar.

Elementos primos e irreducibles​

Sea [imath]A[/imath] un dominio de integridad y [imath]0\neq a \in A[/imath], con [imath]a[/imath] no unidad.

Definición:

(Elemento primo)
Se dice que [imath]a[/imath] es primo si

[imath]a\mid bc[/imath] con [imath]b,c\in A \implies a\mid b \vee a\mid c[/imath]​

(Elemento irreducible)
Se dice que [imath]a[/imath] es irreducible si

[imath]a=bc[/imath] con [imath]b,c\in A \implies[/imath] [imath]b[/imath] es unidad o [imath]c[/imath] es unidad.
​

Más detalles en:

Elemento primo - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Elemento irreducible - Wikipedia, la enciclopedia libre

es.wikipedia.org

 

[オベリスクの巨神兵]

Entonces vamos con el

Teorema:

Sea [imath]A[/imath] un dominio de integridad y [imath]a\in A[/imath]. Entonces

[imath]a[/imath] es primo [imath]\implies a[/imath] es irreducible
​

Demostración

Sea [imath]a=bc[/imath]. Como [imath]a[/imath] es primo se verifica [imath]a\mid b[/imath] o [imath]a\mid c[/imath].

Supongamos sin pérdida de generalidad que [imath]a\mid b[/imath]. Entonces, se tiene

[imath]b=ad[/imath] con [imath]d\in A[/imath]​

con lo cual

[imath]a=bc=adc \implies a(1-dc)=0[/imath]​

Al ser [imath]a\neq 0[/imath] (porque es primo) y [imath]A[/imath] dominio de integridad, [imath]dc=1[/imath] por lo tanto [imath]c[/imath] es unidad.

Q.E.D.​

 

[オベリスクの巨神兵]

Cabe destacar que en general el recíproco no será cierto

Contraejemplo

Sea [imath]A=\mathbb Q + x\mathbb R[x][/imath], es decir el anillo de polinomios con coeficientes reales, y con término independiente racional.

No lo demostramos pero [imath]A[/imath] es dominio de integridad (la comprobación es muy sencilla).

Tomamos el polinomio [imath]p(x)=x \in A[/imath] que es irreducible, pero no es primo.

Como evidentemente se tiene

[imath]x,2x,2x^2\in A[/imath], y [imath]2x^2 = x\cdot 2x[/imath]​

se tiene que [imath]x\mid 2x^2[/imath], esto es, que también se tiene

[imath]x\mid (\sqrt 2 x)^2[/imath]​

O sea, con [imath]x,\sqrt 2 x \in A[/imath] se tiene

[imath]x\mid \sqrt 2 x \cdot \sqrt 2 x[/imath]​

pero [imath]x\nmid \sqrt 2 x[/imath], pues [imath]\sqrt 2\notin\mathbb Q[/imath] y por tanto no pertenece a [imath]A[/imath].

 

[オベリスクの巨神兵]

Ahora bien, bajo ciertas condiciones, específicamente reforzando la hipótesis de dominio de integridad, el recíproco sí se hará verdad.

Esta vez, pediremos al anillo que sea Dominio de Factorización Única (en adelante, DFU)

Dominio de factorización única - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Teorema

Sea [imath]A[/imath] DFU, y [imath]a\in A[/imath]. Entonces

[imath]a[/imath] primo [imath]\iff[/imath] [imath]a[/imath] irreducible​

Demostración

[imath](\implies)[/imath]

Ya la hicimos en:

Demostración de que primo implica irreducible

Primero vamos con algunas definiciones. Elementos primos e irreducibles Sea A un dominio de integridad y 0\neq a \in A, con a no unidad. Definición: (Elemento primo) Se dice que a es primo si a\mid bc con b,c\in A \implies a\mid b \vee a\mid c (Elemento irreducible) Se dice que a es...

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[imath](\impliedby)[/imath]

Sea [imath]a[/imath] irreducible, y sean [imath]b,c\in A[/imath] con [imath]a\mid bc[/imath]. Entonces, por definición, existe [imath]d\in A[/imath] tal que

[imath]bc = ad[/imath]​

Tenemos que demostrar que

[imath]a\mid b \vee a\mid c[/imath]​

Si [imath]b=0[/imath] entonces [imath]b=a\cdot 0[/imath] y por tanto [imath]a\mid b[/imath].

Si [imath]b[/imath] es unidad, entonces existirá [imath]b^{-1}\in A[/imath] y

[imath]c = (b^{-1}d)a[/imath]​

y por tanto [imath]a\mid c[/imath].

Así, podemos suponer que [imath]b[/imath] y [imath]c[/imath] son no nulos, y no unidades de [imath]A[/imath].

Teníamos de antes que [imath]bc=ad[/imath].

Primeramente notamos que [imath]d[/imath] no puede ser unidad, dado que, usando la definición de DFU, el lado izquierdo de la igualdad debe tener al menos 2 elementos ([imath]b[/imath] y [imath]c[/imath]), mientras que el derecho sólo tendría 1 irreducible ([imath]a[/imath]). Esto violaría la definición, contradiría la hipótesis de DFU.

Entonces, tenemos que [imath]d[/imath] no es unidad. Sean sus respectivas descomposiciones en irreducibles

[imath]b = b_1\cdot b_2\cdot \ldots \cdot b_m[/imath]

[imath]c = c_1\cdot c_2\cdot \ldots \cdot c_n[/imath]

[imath]d = d_1\cdot d_2\cdot \ldots \cdot d_p[/imath]​

Entonces, tenemos 2 descomposiciones en irreducibles a ambos lados de la igualdad

[imath]b_1\cdot \ldots \cdot b_m \cdot c_1 \cdot \ldots \cdot c_n = a \cdot d_1\cdot \ldots \cdot d_p [/imath]​

que por hipótesis deben ser iguales. Esto es, el irreducible [imath]a[/imath] debe ser igual a alguno de los [imath]b_i[/imath] (luego se dará [imath]a\mid b[/imath]) o a alguno de los [imath]c_j[/imath] (en cuyo caso se tendrá [imath]a\mid c[/imath]).

Por lo tanto [imath]a[/imath] es elemento primo de [imath]A[/imath].

Q.E.D.​

 

[Administrator]

Le concedí permisos de edición ilimitados en la seccion Ciencias, lo mismo para el usuario @Hydra

 

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Observación

A la luz de la prueba dada en

Demostración de que primo implica irreducible

Primero vamos con algunas definiciones. Antes que eso recordamos que un Dominio de Integridad es un anillo sin divisores de cero. https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridad Asimismo recordamos que las unidades de un anillo son sus elementos inversibles...

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Queda claro que el contrajemplo de

Demostración de que primo implica irreducible

Primero vamos con algunas definiciones. Antes que eso recordamos que un Dominio de Integridad es un anillo sin divisores de cero. https://es.wikipedia.org/wiki/Dominio_de_integridad Asimismo recordamos que las unidades de un anillo son sus elementos inversibles...

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es debido a la no factorización única de ese anillo.

Específicamente para el elemento [imath]2x^2[/imath] tenemos las 2 descomposiciones (distintas) en elementos irreducibles:

[imath]2x^2 = 2x\cdot x = \sqrt 2 x \cdot \sqrt 2 x[/imath]
​

Ahora bien, para el anillo de polinomios con coeficientes reales [imath]\mathbb R [x][/imath], sí sería descomposición única, pues [imath]\mathbb R [x][/imath] es DFU. Más en general, [imath]\mathbb R [x][/imath] es una estructura algebraica más fuerte llamada dominio euclídeo.

Dominio euclídeo - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Más en general, para cualquier cuerpo

Cuerpo (matemáticas) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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[imath]\mathbb K[/imath], su anillo de polinomios en 1 variable [imath]\mathbb K[x][/imath], siempre será dominio euclídeo (y en particular DFU).

 

[オベリスクの巨神兵]

Ahora daremos misma prueba, pero en japonés, sólo que explicada en términos de Teoría de Ideales

Ideal (teoría de anillos) - Wikipedia, la enciclopedia libre

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Antes de eso, damos las definiciones de elemento primo e irreducible en ese idioma:

定義

可換環 [imath]R[/imath] の元 [imath]p[/imath] は次の性質を満たすとき素元であると言う。[imath]p[/imath] は [imath]0[/imath] でも単元でもなく、[imath]R[/imath] のある元 [imath]a[/imath] と [imath]b[/imath] に対して [imath]p[/imath] が [imath]ab[/imath] を割り切るときにはいつでも、[imath]p[/imath] が [imath]a[/imath] を割り切るか [imath]p[/imath] が [imath]b[/imath] を割り切る。同じことだが、元 [imath]p[/imath] が素元であることと [imath]p[/imath] によって生成される単項イデアル [imath](p)[/imath] が [imath]0[/imath] でない素イデアルであることは同値である。

素元 - Wikipedia

ja.wikipedia.org

整域の 0 でも単元でもない元は、それが２つの非単元の積でないときに、既約（英: irreducible）であると言う。

既約元 - Wikipedia

ja.wikipedia.org

注意

素元は素数の概念に対応しており，既約元は「これ以上割り切れない」という概念に対応している。整数 [imath]\mathbb Z[/imath]（環 [imath](\mathbb Z,+,\cdot)[/imath]） では，両者は同じ意味だが，一般には違う。


La prueba no cambia mucho.


定理（素元と既約元の性質）

[imath]R[/imath] を整域とする。[imath]R[/imath] の元について，

1. 素元は既約元である。
2. [imath]R[/imath] が一意分解整域 (UFD) であれば，既約元は素元である。

 

[オベリスクの巨神兵]

証明

1. 素元は既約元であることについて

[imath]p\in R[/imath] を素元とする。[imath](p)[/imath] は素イデアルなので，[imath](0)\subset (p)\subset R[/imath] であり，特に [imath]p\neq 0,p\notin R^\times[/imath]（単元／可逆元）である。

[imath]p=ab[/imath] とすると，[imath]ab\in (p)[/imath] であり，[imath](p)[/imath] は素イデアルであるから，[imath]a\in(p)[/imath] または [imath]b\in(p)[/imath] である。一般性を失わず，[imath]a\in (p)[/imath] とする。すると，[imath]a=pc[/imath] となる [imath]c\in R[/imath] が存在する。よって，

[imath]p=ab=pcb[/imath]​

なので，分配法則を適用して、[imath]p(1−cb)=0[/imath] である。[imath]R[/imath] は整域より，[imath]1−cb=0[/imath] すなわち [imath]cb=1[/imath] となる。よって [imath]b∈R^\times[/imath] なので，[imath]p[/imath] は既約元である。

Q.E.D.​

 

[オベリスクの巨神兵]

証明

2. 一意分解整域では，既約元は素元であることについて

[imath]p\in R[/imath] を既約元とする。

任意の [imath]a,b\in R[/imath] に対して、[imath]p\mid ab[/imath] ならば [imath]p\mid a[/imath] か [imath]p\mid b[/imath] であることを示せば良い。

[imath]p\mid ab[/imath] より、元 [imath]c\in R[/imath] があって、[imath]pc=ab[/imath] となる。

これの一意分解を考える（[imath]\alpha_i,\beta_j,\gamma_k[/imath] は既約）

[imath]pc = p \cdot (\gamma_1 \cdots\gamma_l)[/imath]
[imath]ab=(\alpha_1 \cdots \alpha_m) \cdot (\beta_1 \cdots \beta_n)[/imath]​

この分解が一意なので、[imath]\alpha_i, \beta_j[/imath] の中の一つが [imath]p[/imath] に等しい、そして

• ある [imath]i[/imath] に対して、[imath]\alpha_i=p[/imath] ならば、[imath]p\mid a[/imath]
• ある [imath]j[/imath] に対して、[imath]\beta_j = p[/imath] ならば、[imath]p\mid b[/imath]

従って、[imath]p[/imath] は素元。

Q.E.D.​

 

[オベリスクの巨神兵]

Entonces vamos con el

Teorema:

Sea [imath]A[/imath] un dominio de integridad y [imath]a\in A[/imath]. Entonces

[imath]a[/imath] es primo [imath]\implies a[/imath] es irreducible
​

Demostración

Sea [imath]a=bc[/imath]. Como [imath]a[/imath] es primo se verifica [imath]a\mid b[/imath] o [imath]a\mid c[/imath].

Supongamos sin pérdida de generalidad que [imath]a\mid b[/imath]. Entonces, se tiene

[imath]b=ad[/imath] con [imath]d\in A[/imath]​

con lo cual

[imath]a=bc=adc \implies a(1-dc)=0[/imath]​

Al ser [imath]a\neq 0[/imath] (porque es primo) y [imath]A[/imath] dominio de integridad, [imath]dc=1[/imath] por lo tanto [imath]c[/imath] es unidad.

Q.E.D.​

Y aquí una versión de esta prueba (libre de ideales) en japonés...

定理

整域 [imath]D[/imath] とし、[imath]p\in D[/imath] とする。このとき、

[imath]p[/imath] 素元 [imath]\implies p[/imath] 規約元​

証明

[imath]p\in D[/imath] を素元とする。

任意の [imath]a,b\in D[/imath] に対して、[imath]p=ab[/imath] ならば [imath]a[/imath] は単元か [imath]b[/imath] は単元であることを示せば良い。

次に、[imath]p=ab[/imath] と仮定する。特に [imath]p\mid ab[/imath] である。

[imath]p[/imath] は素元より、必然的に [imath]p\mid a[/imath] か、[imath]p\mid b[/imath] であることになる。一般性を失わず，[imath]p\mid a[/imath] とする。すると，[imath]a=pc[/imath] となる [imath]c\in D[/imath] が存在する。よって，

[imath]p=ab=pcb[/imath]​

なので，分配法則を適用して、[imath]p(1−cb)=0[/imath] である。[imath]D[/imath] は整域より，[imath]1−cb=0[/imath] すなわち [imath]cb=1[/imath] となる。よって [imath]b[/imath] は単元であるなので，[imath]p[/imath] は既約元である。

Q.E.D.​

 

[Japanese Hitler]

@Lord Porky que opinas de este tema

 

[オベリスクの巨神兵]

@Lord Porky que opinas de este tema

Las mal llamadas "inteligencias artificiales" no son capaces de hacer argumentaciones lógicas

Sí pueden reordenar floro, en eso son muy buenas, pero no pueden razonar

 

[Japanese Hitler]

Las mal llamadas "inteligencias artificiales" no son capaces de hacer argumentaciones lógicas

Sí pueden reordenar floro, en eso son muy buenas, pero no pueden razonar

A favor de estas diría que realmente no sabemos que es razonar, inteligencia o creatividad

 

[オベリスクの巨神兵]

A favor de estas diría que realmente no sabemos que es razonar, inteligencia o creatividad

Ponlo en simple

Una máquina no puede hacer demostraciones lógicas ni matemáticas

Sí puede componer escritos de carreras de floro (derecho, sociología, etc.)

 

[Dahmerized]

Ponlo en simple

Una máquina no puede hacer demostraciones lógicas ni matemáticas

Sí puede componer escritos de carreras de floro (derecho, sociología, etc.)

Lo primero es mas complicado, lo 2do creo ya lo puede hacer si se le adiestra

Todo es cuestion de tiempo, unos meses

 

[オベリスクの巨神兵]

Lo primero es mas complicado, lo 2do creo ya lo puede hacer si se le adiestra

Todo es cuestion de tiempo, unos meses

Si una máquina aprende a hacer eso me levantaría una ceja

Ojo que no es lo mismo copiar de paporreta el argumento lógico, es preciso entenderlo...

 

[Dahmerized]

Si una máquina aprende a hacer eso me levantaría una ceja

Ojo que no es lo mismo copiar de paporreta el argumento lógico, es preciso entenderlo...

Las maquinas evolucionan demasiado rapido.Lo que a las formas de vida biologica les lleva millones de años, a estas entidades les toma 4-5 años.

En 20 años seran como dioses comparados con cualquier ser humano

 

[phoenixzero]

Lo primero es mas complicado, lo 2do creo ya lo puede hacer si se le adiestra

Todo es cuestion de tiempo, unos meses

no creo que meses en sociologia quizas pero incluso en derecho falla en cosas basicas que te pueden costar un juicio

 

[Lord Porky]

Lo primero es mas complicado, lo 2do creo ya lo puede hacer si se le adiestra

Todo es cuestion de tiempo, unos meses

no creo que meses en sociologia quizas pero incluso en derecho falla en cosas basicas que te pueden costar un juicio

Exacto, hay cosas que van más allá del aprendizaje automático y la inteligencia artificial. La lógica, el razonamiento abstracto y la capacidad de comprensión, son habilidades inherentes al ser humano y que las máquinas no pueden poseer en su totalidad. Aunque pueden tener capacidades superiores en algunas áreas específicas, la habilidad de razonar sigue siendo una marca distintiva de la inteligencia humana.

 

[phoenixzero]

Las maquinas evolucionan demasiado rapido.Lo que a las formas de vida biologica les lleva millones de años, a estas entidades les toma 4-5 años.

En 20 años seran como dioses comparados con cualquier ser humano

el problema tambien es el costo la computacion cuantica es demasiado costosa y aun asi no tendria la capacidad de razonar al nivel que esta ahora