Acá un problemita del loco Esmarman
@WISE FUE VIOLADO
Este problema también facilito, a ver si puedes esta vez @名張の五ツ
www.baneadosforosperu.com
El webón de Esmarman no lo dice explícitamente, pero en esa sucesión, cada uno de los nuevos círculos tiene la misma área del círculo pequeñito del anterior.
Entonces, debemos calcular el área de los 3 círculos grises del primero.
El primero, el grande que llama [imath]C[/imath], tiene radio [imath]R=1[/imath]. Sea [imath]r[/imath] el radio de uno (y por tanto todos) de los grises.
Hacemos un triángulo (que va a salir equilátero) formado por los 3 centros de los grises. Queda algo como esto:
Esto no lo demuestro (aunque debería) pero el centro del círculo [imath]C[/imath] (que yo llamo [imath]O[/imath]) es además el centro del equilátero, por propiedades de simetría.
Para empezar, la altura de este triángulo azul será, por Pitágoras:
[imath]\sqrt{(2r)^2-r^2} = \sqrt{3r^2} = \sqrt 3 r[/imath]
Esto de nuevo, por simetría de los inscritos. No lo demuestro aunque debería, pero el tríangulo azul tiene lados [imath]2r[/imath], los radios de los grises duplicados.
Ahora, por otro lado, queremos ver la distancia entre los vértices y el centro [imath]O[/imath] que además es el centro de [imath]C[/imath]. Para eso, usamos otra propiedad de colegio (que tampoco demostraremos) que nos dice que esa distacia será [imath]\frac{2}{3}[/imath] de la altura, luego tenemos que
[imath]\displaystyle R=1 = r + \frac{2}{3} \times \sqrt 3 r[/imath]
Esto es completando con respecto al radio original de [imath]C[/imath] que es [imath]1[/imath]. Lo dibujamos antes de seguir
Entonces se tiene
[imath]\displaystyle r = \frac{1}{1 + \frac{2}{\sqrt 3}} = 2\sqrt 3 - 3[/imath]
En general obviamente para cada círculo de la sucesión, el radio de cada uno de sus 3 inscritos será
[imath]\displaystyle r_n = R_n\left(2\sqrt 3 - 3\right)[/imath]
donde para el caso [imath]n=1[/imath] se tendrá [imath]R_1=1[/imath].
El loco Esmarman pide las áreas, que pueden obtenerse a partir de los radios. Llamándola [imath]A_1[/imath] es sólo triplicar (porque son 3 los círculos) este radio al cuadrado, multiplicado por [imath]\pi[/imath]. Esto es, para la primera iteración
[imath]A_1 = 3\pi\left(2\sqrt 3 - 3\right)^2 = \left(63 - 36\sqrt 3 \right)\pi \approx 2.03[/imath]
En general, el problema que quiere
@WISE FUE VIOLADO es el valor de la serie
[imath]\displaystyle\sum^\infty_{n=1} A_n = \sum^\infty_{n=1} 3\pi\left(r_n\right)^2 = 3\pi\left(2\sqrt 3 - 3\right)^2\sum^\infty_{n=1} \left(R_n\right)^2[/imath]
Ahora debemos estudiar qué pasa en los demás círculos, ver su regla de recurrencia. Sabemos (sin demostración otra vez) que el centro [imath]O[/imath] del grande [imath]C[/imath] está alineado con los otros 3 centros pequeños. Entonces vemos rápidamente (ver la última foto) que el valor del siguiente radio [imath]R_2[/imath] es
[imath]R_2 = R_1 - 2R_1 r_1 = 1 - 2\left(2\sqrt 3 - 3\right) = 7 - 4\sqrt 3[/imath]
Nótese que es un número muy pequeñito, del orden de [imath]7. 1797\times 10^{-2}[/imath]. Es decir
[imath]R_2 = R_1 \left(7 - 4\sqrt 3\right) = 7 - 4\sqrt 3[/imath]
En general vamos a tener que
[imath]R_{n+1} = \left(7 - 4\sqrt 3\right)^n[/imath]
que será la recurrencia que decía mi sobrino
@Dahmerized. Entonces, el área buscada [imath]A[/imath] será
[imath]\displaystyle A = 3\pi\left(2\sqrt 3 - 3\right)^2\sum^\infty_{n=0} \left(7 - 4\sqrt 3\right)^{2n}[/imath]
(nótese que hemos cambiado el índice del sumatorio a cero para poder añadir la primera área, la del círculo grande que es con diferencia la mayor).
Como bien decía
@Dahmerized iba a quedar en función de una geométrica, que claramente iba a ser convergente pues es de razón menor que 1.
Expresión explícita no se sacar, pues esta no es una verdadera geométrica sino que sólo suma los exponentes pares (el bruto de
@WISE FUE VIOLADO quería áreas y cada uno de esos factores debe ser elevado al cuadrado. Si hubiera pedido las sumas de los radios grandes sí iba a ser calculable).
Por supuesto, a pesar de lo anterior, sí que puede acotarse fácilmente con una geométrica de razón [imath]\left(7 - 4\sqrt 3\right) \approx 0.0717967697 <1[/imath] y por tanto convergente.
Esto es, haciendo
[imath]\displaystyle \sum^\infty_{n=0} \left(7 - 4\sqrt 3\right)^n = \frac{1}{1-\left(7 - 4\sqrt 3\right)} = \frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{3} \approx 1.0774[/imath]
Tenemos una buena cota superior (porque metemos además de los términos pares, los impares). Usando esta cota tenemos el valor [imath]A'[/imath]
[imath]\displaystyle A' = 3\pi\left(2\sqrt 3 - 3\right)^2 \left(\frac{1}{2}+\frac{\sqrt 3}{3}\right) \approx 2.187[/imath]
Nótese que casi todo este valor está ocupado por la primera área, que calculamos antes y llamamos [imath]A_1[/imath] (nos daba algo de 2.03). Esto es porque los demás círculos son mucho más chiquititos (como el enano
@SOCRATES) y aportan muy poco al sumatorio.
También calculé manualmente las áreas de los primeros círculos (y por supuesto me salen igual que con mi expresión asintótica) y sumé los primeros términos (sólo las potencias pares) en una hoja de cálculo. El valor "real" de la serie y por tanto la suma de las áreas sería algo de
2.0405242848.
Por supuesto, si a nuestra cota [imath]A'[/imath] le quitamos el segundo término, el que sería el lineal, que calculándolo sale algo de 0.145 queda algo como 2.042 que ya aproxima bastante mejor al valor "real". Esto es porque ya a partir del tercero, sus valores son muy próximos a cero.
Temita para poner problemas de matematica de pregrado/bachiller/admision y resolverlos, se puede poner uno bueno que ya sepas/tengas la solucion o que aun no; en caso de tener la solucion dejar unos dias o hasta que alguien lo resuelva para poner otro problemita mas
