Demostración de que una función lineal es inyectiva si y sólo si tiene kernel trivial

オベリスクの巨神兵

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Miembro Maestro
Sea [imath]f:V\rightarrow W[/imath] una función vectorial, esto es, con [imath]V,W[/imath] espacios lineales.

Demostrar que [imath]f[/imath] es inyectiva si y sólo si Ker[imath](f)[/imath] es trivial.
 
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DEMOSTRACIÓN:

Sean [imath]0_V,0_W[/imath] los elementos neutros de [imath]V,W[/imath] respectivamente. Sea [imath]0[/imath] el elemento neutro del cuerpo [imath]K[/imath] sobre el cual están definidos [imath]V[/imath] y [imath]W[/imath].

Deberemos descomponer el argumento lógico en suficiencia, y necesidad.
 
Demostración (Necesidad)

Tenemos que [imath]f[/imath] es inyectiva. Queremos ver que Ker[imath](f)=\{0_V\}[/imath]


Para empezar notamos el hecho que siempre se tiene [imath]0_V\in[/imath] Ker[imath](f)[/imath]. Efectivamente sea [imath]x\in V[/imath] arbitrario, y tendremos

[imath]f(0_V)=f(0\times x)=0 f(x)=0_W[/imath]​

Y con esto hemos terminado, pues teníamos por hipótesis que [imath]f[/imath] es uno a uno.
 
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Demostración (Suficiencia)

Tenemos que Ker[imath](f)=\{0_V\}[/imath]. Queremos ver que [imath]f[/imath] es inyectiva.


Sean [imath]x,y\in V[/imath], tales que [imath]f(x)=f(y)[/imath]. Queremos ver que necesariamente se tiene [imath]x=y[/imath].

Entonces, tenemos que

[imath]f(x)-f(y)=0_W[/imath]​

luego por linealidad

[imath]f(x-y)=0_W[/imath]​

Es aquí donde, aplicando la hipótesis, deducimos que

[imath]x-y=0_V[/imath]​

que es lo mismo que decir que

[imath]x=y[/imath]​

Lo cual concluye nuestro argumento lógico.
 
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Por lo tanto, concluimos que es una condición necesaria y suficiente para que [imath]f[/imath] sea uno a uno, que su kernel sea el trivial.

Q.E.D.​
 
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オベリスクの巨神兵 dijo:
Hiciste bien en incorporar código LaTeX a tu zerra foro, sobrino

Hace años se lo pedí a mi sobrino el gordo tetón pero creo que me metió un floro de que recargaría el foro y lo ralentizaría

Pero parece que eso no es cierto pues tú lo has hecho y lo veo igual de rápido...
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El tetón no ha hecho ninguna mejora en el foro en los tres años que anduve por allá.

Es un ocioso, sin creatividad, parásito y bueno para nada. Como todos los rojetes.
 
dalktri dijo:
El tetón no ha hecho ninguna mejora en el foro en los tres años que anduve por allá.

Es un ocioso, sin creatividad, parásito y bueno para nada. Como todos los rojetes.
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Esto es el libre mercado, la máxima expresión de libertad

El que da mejores servicios, el que chambea más, se queda con el premio que es el público: la gente solita sin que nadie la obligue se va para donde le dan mejores servicios a mejores precios

Lo contrario es el socialismo, donde te obligan a tomar servicios que no quieres y te meten a la fuerza

Luego es el liberalismo, el capitalismo el sistema que más te obliga a trabajar y a esforzarte en ser creativo. Si no, se te van todos los clientes. Con el socialismo como tienes el público cautivo te puedes dar el lujo de dormirte y no hacer nada.
 
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