Demostración
Como [imath]X[/imath] tiene sus trayectorias continuas casi seguro, entonces sea [imath]A[/imath] el conjunto de medida cero donde no lo son. Análogamente definimos [imath]B[/imath] como el conjunto de medida cero de [imath]Y[/imath] donde no lo son.
Ahora sea
[imath]N_t := \{ \omega : X_t (\omega) \neq Y_t (\omega) \}[/imath]
que por hipótesis tendrá medida cero (nótese que cada [imath]N_t[/imath] dependerá de [imath]t[/imath]) y hacemos
[imath]\displaystyle N:= \bigcup_{t\in\mathbb Q} N_t[/imath]
donde [imath]\mathbb Q[/imath] denota a los racionales en [imath][0,\infty)[/imath]. Como [imath]N[/imath] es una unión numerable de conjuntos de medida cero, se tiene que también tendrá medida cero.
Ahora sea
[imath]M := N\cup A\cup B[/imath]
Otra vez, al ser [imath]M[/imath] una unión numerable (en particular finita, muy en particular de tres elementos), [imath]M[/imath] también será de medida cero.
Se tiene entonces que
[imath]X_t(\omega) = Y_t(\omega)[/imath]
para todo [imath]t\in\mathbb Q[/imath], y todo [imath]\omega\notin M[/imath].
Sólo falta por chequear la igualdad en el caso complementario.
Si [imath]t[/imath] es irracional, tomamos una
sucesión racional decreciente [imath]\{t_n\}[/imath] tal que [imath]t_n\rightarrow t[/imath]. Para [imath]\omega\notin M[/imath] y cada [imath]n\in\mathbb N[/imath] se tiene que
[imath]X_{t_n}(\omega) = Y_{t_n}(\omega)[/imath]
Por otro lado, la continuidad por derecha de [imath]X[/imath] e [imath]Y[/imath] nos da
[imath]\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}X_{t_n}(\omega) = X_t(\omega)[/imath]
[imath]\displaystyle\lim_{n\rightarrow\infty}Y_{t_n}(\omega) = Y_t(\omega)[/imath]
y como el límite, de existir, es único, obtenemos que [imath]X_t(\omega) = Y_t(\omega)[/imath].
Finalmente, haciendo notar que, como dijimos antes, [imath]M[/imath] es de medida cero, además que no depende de ningún [imath]t[/imath] particular, obtenemos por tanto que [imath]X,Y[/imath] son indistinguibles.
Q.E.D.
